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现代大规模集成电路图（VLSI）非常庞大，当我们希望用多个FPGA仿真一个VLSI时，需要把VLSI在满足一些约束条件的情况下切割成多个小部分，每个部分都可以装进一个FPGA。
这个问题抽象成数学模型，实际上就是一个超图分割的问题。在超图分割领域有一篇发表于1982年的论文，名字是”A Linear-Time Heuristic for Improving Network Partitions”。这篇论文提出了一种改进的“超图二分问题”算法，简称为FM算法。虽然在1982年这篇论文发表时，“超图分割”算法领域已经发展了近十年。但这篇论文似乎有着近乎祖师爷级论文的地位，相当多的后期该领域的论文都会引用这篇文章。论文发表之后该领域继续发展出的“层次化超图多分割”算法可以看成是FM算法发展而来。该算法中涉及到的概念和思路是后续算法的基础，是很好的该领域入门学习的资料。
（更多超图及超图分割的基础概念请自行搜索，本博客主要解读论文）
论文的下载地址：
https://ieeexplore.ieee.org/document/1585498
在论文的摘要部分论述到：本文提出了一种启发式的，利用最小割(mincut)的迭代算法解决超图二分问题。该算法在最坏情况下的时间复杂度也是线性的。在实际应用中，绝大多数情况下，该算法都只需要很少次数的迭代。算法有三个特点：
1. 超图被分成两个Block。每次移动一个结点把它从原来的Block移往另一个Block。同时维持两个Block的平衡。重要的是，这个平衡不是基于每个Block中的结点数量，而是更一般的size of block的概念，它考虑到了每个结点的权重是不一样的。
2. 利用一个相当高效的数据结构，可以在O(1)常数时间复杂度内找到需要移动的最佳结点。
3. 在移动了某个结点后，再高效地更新受上次移动影响的结点的信息(即论文后面会提到的结点的gain值)。这第三个特点亦在论文的Introduction中被再次提到，作者认为这是该论文的主要贡献(main contribution).
术语及基本概念
- n(i): 当i是超边的编号时，n(i)定义为每个超边上的结点数目。
- s(i)或p(i): 当i表示结点时，s(i)或p(i)表示结点上的PIN数目，即结点一共跟多个条超边有连接，更多时候亦称为结点的size。
- 邻居结点： 如果两个结点至少能通过一条超边连接，即为邻居结点。
- A，B： 代表超图二分割后的两个BLOCK。
- ｜A｜： $|A| = \sum_{i=i}^{n}{s(i)}$ 即Block A的size定义为Block A中所有的结点的size的连加。
- A(n)或B(n)： n表示编号为n的边，A(n)则表示该条n在Block A中的结点数。
- cut: 在A和B中都有结点的超边。
- cutstate: 一条超边是不是cut（后来发展成多分割问题中的cutsize）。
- cell gains: 当移动一个结点到另一个BLOCK时，cut减少的数目。
维持平衡
最容易想到的是就是使超图二分割后的两个BLOCK中的结点数量大致相同。不过，可以稍微变复杂一点，即考虑每个结点的权重。
* W ＝ |A| + |B| 所有结点的size连加和
* r = |A| / (|A| + |B|) 一个大小0到1之间的比率
* smax = $\max_{1<i<n}{s(i)}$ 最大的结点size
* rW – k ＊ smax <= |A| <= rW + k * smax；k > 1 平衡公式
公式不难，描述地很清楚。简单地讲，block的size考虑到了每个结点的权重不同。另外，允许每个block的size在满足比率r的附近上下浮动k个最大结点size。它的含义是，在刚好满足分割比率r的时候，还能够至少移动k个结点。
算法描述
- 随机找到一个划分A, B （初始划分并未严格要求是在平衡状态）
- 从A和B中都找出它们各自拥有最高gain值的结点，即有两个预备结点。
- 淘汰掉移动后会导致不平衡状态出现的预备结点。如果两个预备结点均被淘汰，则算法结束。
- 在这两个结点中选择拥有最高gain值的结点移动到对端。如果这两个预备结点gain值一样，就选会导致更好平衡状态的结点。如果还是一样，那就随你的心情挑一个(break ties as desired)。
- 锁定该结点，在本次迭代中不准再使用。
- 更新各个结点的gain值，跳到步骤2继续下一次迭代。
高效的数据结构
FM算法中有两个难点，即如何快速找到每个Block中gain值最高的结点以及高效的更新gain值以反应移动结点带来的变化。第一问题由下图所示的数据结构解决。
如图的数据结构共有两个。A，B两个BLOCK各有一个。其中 pmax即所有结点中最大size。显然，每个结点的gain值都在[-pmax, +pmax]之间。当pmax值相对较小时，可以用一个静态数组表示。FM论文中即用静态数组，但后来VLSI持续发展，静态数组太大的时候，即可换成用hash表。图中，坚着的数组表示在每一个gain值下面用链表存放Free结点，并用一个标记记录当前最高gain值是多少。横着的数组则存放了所有的结点。这样，就能在常数时间内找到最大的gain值和任意一个结点。
高效地更新gain值
当一个结点从当前BLOCK移到对端BLOCK后，会造成它的所有邻居结点的gain值有可能发生变化。如果用一个naive的算法，效率会很低。论文中论述了naive方法的时间复杂度O(P^2)，P表示超图中所有PIN的总数目。这个时间复杂度很吓人，但我认为这是最坏极端情况下。但更详细的论述这里就略过吧，主要讲FM算法是怎么做的，这是该论文作者最得意的部分。
先引入关键边的概念。
当且仅当A(n)或B(n)等于0或者等于1时，一条边能称之为关键边。
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两个重要论述：
-
If the net is not critical, its cutstate cannot be affected by a move
如果一条边不是关键边，那么不可能只通过一次移动改变该边的cutstate。
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A net which is not critical either before or after a move cannot possibly influence the gains of any of its cells.
如果一条边在移动前和移动后，它都不是关键边，那这条边则不影响gain值的更新。
那不就是～～～～
如何更新gain值，只用管移动前是关键边，或者移动后是关键边这两种情况么！！！
考察一个结点，把该结点从From Block移动到To Block这个移动前后的状态。
F(n)定义为一条超边n在From Block中的结点数。
T(n)定义为一条超边n在To Block中的结点数。
移动前符合哪些条件的边是超边呢？
F(n) = 1 or T(n) = 0 or T(n) = 1 其中F(n) = 0违反条件，不存在。
移动后哪些边是超边呢？
T(n) = 1 or F(n) = 0 or F(n) = 1 其中T(n) = 0违反条件，不存在。
再度惊人地发现！！！
移动前的F(n) = 1 即是移动后的 F(n) = 0
移动前的T(n) = 0 即是移动后的 T(n) = 1
于是～～符合什么条件的超边将影响gain值简化为：
移动前符合：
T(n) = 0 or T(n) = 1
移动后符合：
F(n) = 0 or F(n) = 1
于是，得到算法：
本文未尽细节
本文省略了如何计算每个结点的初始gain值，和如何生成初始状态的数据结构。因为这两个算法都相对简单，所以就略过，着重于论文作者最为得意的高效更新gain值的部分。
Our main contribution consists of an analysis of the effects a cell move has on its neighboring cells and a subsequent efficient implementaion of these results.
本文还省略了论者发现的几个命题(proposition)，及一些算法复杂度的分析和证明。
还省略了其他细节～最好还是读原文！给你不一样的丝滑感受。
FM算法的缺点
在另一篇论文中，提到FM算法的3个缺点。
1. 当两边Block选出的gain值一样时，给的处理方式过于简单，不够有洞察力(insightful)。
2. 当一条超边在两个Block中的结点数都大于或等于两个时，它们就没有资格在第一时间被选为待移动结点。这显然太过greedy了。
3. 好像还提到过其他缺点但是我忘记了～
读后感
为何大佬那么厉害～
一个结点的移动对它的邻居结点gain值的影响的分析确实相当之精彩。虽然没有复杂的数学公式，但同样逻辑严谨，抽丝剥茧的分析。让人拍案叫绝～
为何作者能思考得这么有条理和深入？？
除了具体的算法本身，还能学到哪些思考分析复杂问题的方式呢？
1. 简化问题
2. 提炼规律
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